В левой части можно применить формулу косинуса двойного угла:

В правой части можно заменить по формуле приведения:

Тогда уравнение будет выглядеть так:

[tex]cosdfrac{x}{2} = -cos x\ \ \ cosdfrac{x}{2} + cos x = 0[/tex]

Используем формулу суммы косинусов:

В нашем случае получается:

[tex]2cosdfrac{frac{x}{2} + x}{2}cdotcosdfrac{frac{x}{2} - x}{2} = 0\ \ \ 2cosdfrac{frac{3x}{2}}{2}cdotcosdfrac{-frac{x}{2}}{2} = 0\ \ \ 2cosdfrac{3x}{4}cdot cosleft(-dfrac{x}{4}right) = 0 Big|:2\ \ \ cosdfrac{3x}{4}cdotcosleft(-dfrac{x}{4}right) = 0[/tex]

Так как  , то:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Значит, имеем два варианта:

[tex]left[ begin{gathered} cosdfrac{3x}{4} = 0\ \ cosdfrac{x}{4} = 0 end{gathered} Leftrightarrow left[ begin{gathered} dfrac{3x}{4} = dfrac{pi}{2} + pi k\ \ dfrac{x}{4} = dfrac{pi}{2} + pi k end{gathered} Leftrightarrow left[ begin{gathered} 3x = 2pi + 4pi k\ \ x = 2pi + 4pi k end{gathered} Leftrightarrow[/tex]

[tex]Leftrightarrow left[ begin{gathered} x = dfrac{2pi}{3} + dfrac{4pi k}{3}\ \ x = 2pi + 4pi k end{gathered} , boxed{boldsymbol{kinmathbb{Z}}}[/tex]

Теперь подбираем корни, которые принадлежат отрезку   . Для этого можно решить двойное неравенство для каждой серии корней.

Для первой серии:

[tex]3pi leqslantdfrac{2pi}{3} + dfrac{4pi k}{3}leqslantdfrac{9pi}{2}\ \ \ 3leqslantdfrac{2}{3} + dfrac{4k}{3} leqslant dfrac{9}{2}\ \ \ 3 - dfrac{2}{3} leqslant dfrac{4k}{3} leqslant dfrac{9}{2} - dfrac{2}{3}\ \ \ dfrac{7}{3} leqslant dfrac{4k}{3} leqslant dfrac{23}{6}\ \ \ 14leqslant 8kleqslant 23\ \ \ dfrac{7}{4} leqslant kleqslant dfrac{23}{8}\ \ \ boldsymbol{1dfrac{3}{4} leqslant kleqslant 2dfrac{7}{8}}[/tex]

Не забываем, что - это обязательно целое число. В данном промежутке есть только одно такое: 2. Значит, . Подставляем это значение в серию корней, для которой мы решали неравенство.

Одно искомое уже нашли. Теперь тем же самым образом проверим вторую серию корней.

[tex]3pi leqslant 2pi + 4pi kleqslant dfrac{9pi}{2}\ \ \ 3leqslant 2 + 4kleqslantdfrac{9}{2}\ \ \ 1 leqslant 4k leqslant dfrac{5}{2}\ \ \ boldsymbol{dfrac{1}{4} leqslant kleqslant dfrac{5}{8}}[/tex]

Опять же, учитывая то, что - целое число, данное неравенство НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЙ, поскольку в получившемся промежутке нет целых чисел.

Итого мы нашли одно значение, которое одновременно и является корнем уравнения, и входит в промежуток   , а именно .

Ответ: